题目内容

（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求证：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积；

（3）对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：

（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.．

 

【答案】

（1）见解析；（2）16；（3）|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.

【解析】

试题分析：（1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.

（2）解：设与的夹角为θ，则

cosθ=

V=||·||·sinθ·||=

（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.

考点：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及其计算，考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。

点评：这是一道利用向量知识证明几何问题的典例，本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.其中（3）的新定义问题，能较好的考查学生的学习能力以及分析问题解决问题的能力。

 

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2
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12
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