题目内容

设数列{an}为等差数列，证明：Sn=
n(a1+an)2
．
分析：由数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，则Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-3）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-1）d]，利用倒序相加法能够证明Sn=
n(a1+an)
2
．
解答：解：∵数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
则Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-3）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-1）d]
∴Sn=[a1+（n-1）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-3）d]+…+（a1+3d）+（a1+2d）+（a1+d）
两式相加，得2Sn=n[2a1+（n-1）d]，
∴Sn=nan+
n(n-1)
2
d=
n
2
[2a1+(n-1)d]=
n(a1+an)
2
，
∴Sn=
n(a1+an)
2
．
点评：本题考查等差数列的求和公式的证明，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式，注意倒序相加法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知a1=1，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）证明：数列{lg（an+2）}是等比数列；
（2）设数列{an+2}的前n项积为Tn，求Tn及数列{an}的通项公式；
（3）已知bn是
1
an+1
与
1
an+3
的等差中项，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
3
8
≤Sn＜
1
2
．
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜2；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式Sn-1005＞
a
2
n
2
恒成立，求这样的正整数m共有多少个？
已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-
1
8
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=（
4
5
）f（n），求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5f（an）是bn与an的等差中项，试问数列{bn}中第几项的值最小？求出这个最小值．
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是
1
2
an2和an的等差中项
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1
2
≤
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞
a
2
n
2
恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．
设数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，b1+b2=a2，b3是a1与a4的等差中项．
（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（II）求数列{
anbn
}的前n项和Sn．

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