Question

已知函数f（x）=cos

x

2

•(sin

x

2

+

3

cos

x

2

)
（1）当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，求函数f（x）值域
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，求g（x）单调递增区间．

Answer 1

（1）f（x）=cos

x

2

•(sin

x

2

+

3

cos

x

2

)=

1

2

sin2x+

3

2

•（1+cos2x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

．
∵当x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sin（x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）的值域为[

3 -1

2

，

3 +2

2

]．
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）=sin（x-h+

π

3

）+

3

2

的图象．
再由g（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，可得 x-h+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z．
即 h=-kπ+

π

12

，∴h=

π

12

，故函数g（x）=sin（x+

π

4

）+

3

2

．
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

3π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

3π

4

，kπ+

π

4

]，k∈z．