题目内容

若函数f（x）= $数学公式$ 的反函数为y=f^-1（x），且f^-1（2）=1，则f （2）=______

解：法一：由已知设y= $\text{[math]}$ 并解x得：x=y²+a
∴函数f（x）= $\text{[math]}$ 的反函数为f^-1（x）=x²+a，
由f^-1（2）=1得：4+a=1，即：a=-3
∴f（x）= $\text{[math]}$ ，从而，f （2）= $\text{[math]}$ ；
法二：∵f^-1（2）=1，∴f（1）=2
由此得： $\text{[math]}$ ，∴a=-3
∴f（x）= $\text{[math]}$ ，从而，f （2）= $\text{[math]}$ ；

答案： $\text{[math]}$
分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、互为反函数的函数图象之间的关系、等相关知识；
可以用两种方法：
其一、求出反函数，将f^-1（2）=1代入求出a的值，然后f （2）可求；
其二、利用互为反函数的函数图象关于y=x对称这一特征，将f^-1（2）=1转化为f（1）=2，直接代入原函数求a．
点评：本题方法二的解答，巧妙的利用了原函数和反函数的关系，将f^-1（2）=1转化为f（1）=2，直接代入原函数求a，回避了求反函数的过程．过程简捷，计算简单，这要比方法一求出反函数，再将点的坐标代入方便得多．

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（1）设函数f（x）=

，若由函数f（x）确定的数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正整数列{c_n}的前项和s_n=

）．写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=

，D_n是数列{d_n}的前n项和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

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（1）若函数f（x）=

确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）在（1）条件下，记

为正数数列{x_n}的调和平均数，若d_n=

-1，S_n为数列{d_n}的前n项之和，H_n为数列{S_n}的调和平均数，求

；
（3）已知正数数列{c_n}的前n项之和Tn=

)．求T_n表达式．

“若函数f（x）在区间（-1，0）和（0，1）上都单调递增，则函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增”的一个反例是（　　）

A．f（x）=x²

B．f（x）=-x²

设函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=

图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y_M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．
①y=a^x（a＞1）； ②y=x³．
（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*），
求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．