Question

双曲线3x²-y²=1与直线ax-y+1=0相交于A、B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．

Answer 1

解：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3-a²）x²-2ax-2=0
△=24-4a²＞0
∴a∈（
（2）因为∠AOB＞90°，所以原点在以AB为直径的圆外，AB中点（
圆方程为
∴（1+a²）
即  4（a²+9）＞（24-4a²）（1+a²）            
得  1＜a²＜3
所以
分析：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3-a²）x²-2ax-2=0，利用交于A、B两点，可知判别式大于0，故可求；
（2）因为∠AOB＞90⁰，所以原点在以AB为直径的圆外，先求圆的方程，进而可解．
点评：本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的位置关系，关键是联立方程，利用方程思想求解．