Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos

A

2

=

2 5

5

，bc=5．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式算出cosA=

3

5

，再由同角三角函数的关系算出sinA=

1-cos2A

=

4

5

，根据三角形的面积公式即可算出△ABC的面积；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得a²=（b+c）²-2bc（1+cosA）．再代入题中的数据加以计算，即可得到边a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

A

2

=

2 5

5

，
∴cosA=2cos2

A

2

-1=

3

5

．
又∵0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

．
∵bc=5，
∴△ABC的面积为S△ABC=

1

2

bcsinA=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算，可得cosA=

3

5

．
又∵bc=5且b+c=6，
∴根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得a²=（b+c）²-2bc（1+cosA）=6²-2×5×（1+

3

5

）=36-16=20．
解得a=2

5

（舍负）．

点评：本题给出三角形内角A一半的余弦与b、c的积，求三角的面积并依此求边a的长．着重考查了三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系和余弦定理等知识，属于中档题．