Question

已知函数f（x）=lnx﹣；

（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；

（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；

（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

专题：

综合题；压轴题．

分析：

（I）先确定函数f（x）的定义域，再求导函数，从而可判定f（x）在定义域内的单调性；

（II）由（I）可知，f′（x）=．再分类讨论：a≥﹣1，f（x）在[1，e]上为增函数；a≤﹣e，f（x）在[1，e]上为减函数；e＜a＜﹣1，f（x）在（1，﹣a）上为减函数，f（x）在（﹣a，e）上为增函数，利用f（x）在[1，e]上的最小值为，可求a的值；

（III）先将不等式整理，再分离参数，构建新函数，利用单调性求出函数值的范围，即可求出a的取值范围．

解答：

解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…（2分）

∵a＞0，

∴f'（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　 …（4分）

（II）由（I）可知，f′（x）=．

（1）若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，

∴[f（x）]_min=f（1）=﹣a=，

∴a=﹣（舍去）　…（5分）

（2）若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴[f（x）]_min=f（e）=1﹣（舍去）…（6分）

（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数，f（x）在（﹣a，e）上为增函数，

∴[f（x）]_min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴[f（x）]_min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴a=﹣．…（8分）

综上所述，a=﹣．

（III）∵f（x）＜x²∴lnx﹣

又x＞0，∴a＞xlnx﹣x³…（9分）

令g（x）=xlnx﹣x³，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x²，

∴h'（x）=∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，

∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分）

∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0

即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，

∴g（x）在（1，+∞）上是减函数

∴g（x）＜g（1）=﹣1

∴当a≥﹣1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（12分）

∴a≥﹣1

点评：

本题重点考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是运用导数，确定函数的单调性，运用分离参数法求解恒成立问题．