Question

某大学2009届入学测试中，要求每位考生在10道题中随机抽出2道题回答．
（I） 现在某位考生会答10道题中的6道，求这个考生答错题目个数的分布列和数学期望；
（II）若答对其中一题即为及格，如果某位考生及格的概率小于

2

3

，那么他最多会几道题？

Answer 1

分析：（1）答错题目的个数ξ=0，1，2，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求出所求；
（2）设该考生会x道题，不会10-x道题，然后根据某位考生及格的概率小于

2

3

建立不等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）答错题目的个数ξ=0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，P（ξ=1）=

C 1 6 × C 1 4

C 2 10

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

∴分布列为：

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

期望Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=

4

5

（道题）…（7分）
（2）设该考生会x道题，不会10-x道题，则1-

C 2 10-x

C 2 10

＜

2

3

∴

(10-x)(9-x)

45

＞

2

3

…（10分）
解得：x＜4或x＞15（舍），故该考生最多会3道题…（13分）

点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量及其分布列和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．