Question

【题目】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.

（1）求证；　

（2）求平面与平面所成二面角的大小；

（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.

（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为，根据题意可求角度.

（3）利用中位线将异面直线平移，则或其补角是异面直线与所成角，根据勾股定理，即可求解.

（1）∵底面是正方形， ∴，

∵底面，底面，∴，又， ∴平面，∵平面，∴.

（2）由（1）知，又，∴为所求二面角的平面角，

　在中，∵，∴.

（3）取中点，连结，

在，由中位线定理得 ，

或其补角是异面直线与所成角，

∵，，

所以中，有，.