Question

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；
（2）若n∈N^*，证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

Answer 1

分析：（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，即f（x）的最小值大于等于1，转化为求函数的最小值问题．利用导数求解．
（2）函数导数综合题中，不等式的证明可考虑利用前面得到的函数的性质进行．

解答：（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）
（1）解：∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1．令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）=e^x-x在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）有最小值1
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令x=-

k

n

（n∈N^*，k=1，2，，n-1），则0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，
∴(1-

k

n

)n≤(e- 

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)．
即(

n-k

n

)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(

n

n

)n=1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n++(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1．
∵e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n++(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

点评：本题考查不等式恒成立问题、函数求最值、不等式的证明问题，以及化归转化思想和分类讨论思想，综合性强，难度较大．