Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（2）设F₁K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF₁的中点Q的轨迹方程．

解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．…（2分）
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1．…（4分）
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，…（5分）
焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）．…（7分）
（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1，y₁=2y．…（11分）
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1为所求的轨迹方程．…（15分）

点评：本题考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及用代入法求轨迹方程．