Question

5．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数定义得出f（0）=0，当x＞0时$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$，设x＜0，则-x＞0，转化求解f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x-1=-2^x-1，得出解析式即可
（2）利用指数函数的单调性得出当x∈（0，+∞）时，f（x）为单调递减函数，当x＜0时，x∈（-∞，0）时，为单调递减函数，求解值域就简单的多了．

解答 解；（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，
∵当x＞0时$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$，
设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x-1=-2^x-1，
即$\begin{array}{l}f（x）=\left\{{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^x}+1（x＞0）\\ 0（x=0）\end{array}\\{-{2^x}-1（{x＜0}）}\end{array}}\right.\end{array}$．
（2）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）为单调递减函数，
∴当x＞0时，1＜（$\frac{1}{2}$）^x+1＜2，
∵当x＜0时，x∈（-∞，0）时，为单调递减函数，
∴1＜2^x+1＜2，
-2＜-2^x-1＜-1，
故值域（-2，-1）∪{0}∪（1，2）

点评 本题考察了奇函数的性质，求解单调性，值域，属于中档题，考察了学生对于指数函数性质的熟练掌握．