Question

如图，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.

（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；

（Ⅱ）当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜＝，求四面体MABC的体积.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AB，VN⊥平面ABC，AB平面ABC，∴VN⊥AB. 又∵CD∩VN＝N  ∴平面VNC⊥AB 又∵MD平面VNC  ∴MD⊥AB ∴∠MDC为二面角M－MAB－C的平面角.如图 （Ⅱ）证明：∵VC平面VCN，∴AB⊥VC 又∵在△VCN和△CDM中，∠CVN＝∠MDC，∠VCN＝∠VCN  ∴∠DMC＝∠VNC＝90°.∴DM⊥VC 又∵AB∩DM＝D，AB、DM平面AMB  ∴VC⊥平面AMB． （Ⅲ）解：∵MD⊥AB且MD⊥VC，∴MD为VC与AB的距离为h. 过M作ME⊥CD于E ∴VMABC＝AB·CD×ME·ah2tanθ