题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）
因为f（x）在
和
处取得极值，
所以
和
是
=0的两个根
则
，解得
故
。
（2）由题意知
令
得
或
随着x变化情况如下表所示：
由上表知
极大值=
又x取足够大的正数时，
x取足够小的负数时，
因此，为使曲线
与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，
必有：
或
∴
或
即存在t，且
或
时，使得曲线
与x轴有两个交点。
因为f（x）在
和处取得极值，所以
和是=0的两个根则
，解得故
。（2）由题意知
令
得或随着x变化情况如下表所示：由上表知
极大值=又x取足够大的正数时，
x取足够小的负数时，
因此，为使曲线
与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，必有：
或∴
或即存在t，且
或时，使得曲线与x轴有两个交点。
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