Question

（附加题）已知圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使，平面上点G满足，求点G的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：解法1：由，知点G即△ABC的重心，圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，易知A（2，0）因为B、C在圆x²+y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由重心坐标公式得轨迹的参数方程，化为普通方程即得点P的轨迹方程．
解法2：由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：根据 ，以 ，分别得到解析式，联立即可求出顶点C的轨迹E的方程．
解答：解：法1：由，知点G即△ABC的重心，
圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，
易知A（2，0）因为B、C在圆x²+y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由，则，
则点C的坐标为，
由重心坐标公式得轨迹的参数方程：（θ为参数）
即
化为普通方程是：，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
法2：由，则，设BC的中点为P，易求得．
故点P的轨迹方程为x²+y²=2，
连接AP，因为点G为△ABC的重心，所以点G为AP的一个三等分点．
由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量与共线向量，向量坐标的运算，以及求点的轨迹方程．通过运用设而不求韦达定理，方便地求出坐标的关系，考查了对知识的综合运用能力，属于中档题．