Question

（2008•黄冈模拟）正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）

• A．1：3
• B．1：(3+

  3

  )
• C．(

  3

  +1)：3
• D．(

  3

  -1)：3

Answer 1

分析：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，求出正三棱锥的外接球半径；再利用三棱锥的体积的两种求法，列出关于该正三棱锥的内切球的半径的等式，求出内切球的半径，最后求得内切球与外接球的半径之比即可．

解答：解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：

3

a
球的半径为：

3 a

2

，
再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得

1

3

×

1

2

×a3=

1

3

×[

1

2

a2×3+

3

4

(

2

a)2]×r，
∴r=

3- 3

6

a，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为

3- 3 6 a

3 a 2

=(

3

-1)：3．
故选D．

点评：本题考查棱锥的结构特征，内切球、外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．