Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-f′(2)x，g(x)=lnx-

1

2

x2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；
（III）设x₁，x₂，a₁，a₂＞0，且a₁+a₂=1，求证：a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．

Answer 1

分析：（I）欲求函数f（x）的解析式，根据题意，即求出其中的f'（2）的值，故只须对函数求导后令x=2即可；
（II）设F（x）=f（x）+g（x），对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只须a≥F（x）_max即可，利用导数求函数F（x）的最大值，则实数a的取值范围可求．
（III）由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，再分别令x=

x1

a1x1+a2x2

，x=

x2

a1x1+a2x2

，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．

解答：解：（I）因为f(x)=

1

2

x2-f′(2)x，
所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=

1

2

x2-x．（4分）
（II）解：设F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
则F′(x)=

1

x

-1，（5分）
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值	减

所以当x=1时，F（x）_max=F（1）=-1．（9分）
因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（10分）
（III）证明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令x=

x1

a1x1+a2x2

，得ln

x1

a1x1+a2x2

≤

x1

a1x1+a2x2

-1，
令x=

x2

a1x1+a2x2

，得ln

x2

a1x1+a2x2

≤

x2

a1x1+a2x2

-1，（11分）
所以a1ln

x1

a1x1+a2x2

+a2ln

x2

a1x1+a2x2

≤a1(

x1

a1x1+a2x2

-1)+a2(

x2

a1x1+a2x2

-1)
因为a₁+a₂=1，
所以a1ln

x1

a1x1+a2x2

+a2ln

x2

a1x1+a2x2

≤1-a1-a2=0，
即a1ln

x1

a1x1+a2x2

+a2ln

x2

a1x1+a2x2

≤0，
所以a₁lnx₁-a₁ln（a₁x₁+a₂x₂）+a₂lnx₂-a₂ln（a₁x₁+a₂x₂）≤0，
即a₁ln₁+a₂lnx₂≤（a₁+a₂）ln（a₁x₁+a₂x₂），
所以a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．（14分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在某一区间上大于0，原函数是增函数，导函数小于0，原函数是减函数，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分离变量法，是中档题．