Question

（2013•西城区一模）已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是

3π

4

．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=[f（x）]²-2sin²x，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）根据函数解析式，得f（

3π

4

）=sin

3π

4

+acos

3π

4

=0，将sin

3π

4

=

2

2

、cos

3π

4

=-

2

2

代入，即可解出a的值；
（II）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx，由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简整理得g（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，结合正弦函数的单调性，解关于x的不等式即可得到求g（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+acosx，且f(

3π

4

)=0，
∴sin

3π

4

+acos

3π

4

=0，
即

2

2

-

2 a

2

=0，解之得a=1．                                               
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx．
∴g（x）=[f（x）]²-2sin²x
=（sinx+cosx）²-2sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

点评：本题给出三角函数式，求实数a的值并求函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换、不等式的解法和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．