Question

已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求函数的单调区间；

（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为且.--------------- 1分

为偶函数.--------------- 3分

（2）当时，--------------- 4分

令

令

所以可知：当时，单调递减，当时，单调递增，---------- 6分

又因为是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：

当时，单调递增，当时，单调递减，

综上可得：的递增区间是:,；

的递减区间是: ,--------------------------- 8分

（3）由，即,显然,

可得：--------------------- 9分

令，当时,

----------- 10分

显然，当时，,单调递减，当时，,单调递增，

时, ----------- 12分 

又，所以可得为奇函数，所以图像关于坐标原点对称

所以可得:当时，----------- 13分 

∴的值域为  ∴的取值范围是.-------- 14分