Question

求函数y=

1

sinx

+

1

cosx

在x∈(0，

π

2

)上的值域是

[2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：通过同分化简函数的表达式，利用基本不等式，以及正弦函数的有界性，求出函数的值域．

解答：解：函数y=

1

sinx

+

1

cosx

=

sinx+cosx

sinxcosx

≥

2 sinxcosx

sinxcosx

=

2

sinxcosx

=

2 2

sin2x

，当且仅当sinx=cosx时等号成立，
∵x∈(0，

π

2

)
∴2x∈（0，π），当2x=

π

2

时函数取得最小值，
即：

2 2

sin2x

≥2

2

，
∴函数y=

1

sinx

+

1

cosx

的值域为：[2

2

，+∞)，
故答案为：[2

2

，+∞)．

点评：本题是中档题，考查基本不等式的应用，三角函数的化简求值，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．