Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC,△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD=8, AB=2DC=.

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD;

（2）求四棱锥P-ABCD的体积.

 

Answer 1

（1）证明： 在△ABD中，由于AD=4,BD=8,AB=，

所以AD²+BD²=AB².故AD⊥BD.   

又平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD,平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD,

又平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD.

（2）解析：  过P作PO⊥AD交AD于O，

由于平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

因此PO为四棱锥P-ABCD的高，

又△PAD是边长为4的等边三角形，

因此

在底面四边形ABCD中，AB∥DC, AB=2DC,  所以四边形ABCD是梯形，

在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

此即为梯形ABCD的高，

所以四边形ABCD的面积为

故