Question

已知函数f（x）=log_a（1+sin²

x

2

-sin⁴

x

2

），其中0＜a＜1．
（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）是否周期函数？若是，最小正周期是多少？
（3）试写出函数f（x）的单调区间和最大值、最小值；
（4）当a=

1

2

时，试研究关于x的方程f（x）=b在[-

π

2

，

3π

4

]上的解的个数．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后判定f（-x）与f（x）的关系，最后根据函数奇偶性的定义进行判定；
（2）利用同角三角函数关系和降幂公式进行化简变形，从而求出函数的周期；
（3）根据复合函数单调性的性质求出函数的单调区间，然后根据单调性可得函数的最值；
（4）由数形结合，讨论b的可求出关于x的方程f（x）=b在[-

π

2

，

3π

4

]上的解的个数．

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称
且f（-x）=log_a（1+sin²

x

2

-sin⁴

x

2

）=f（x）对x∈R恒成立，
∴函数f（x）是偶函数．
（2）f（x）=log_a（1+sin²

x

2

-sin⁴

x

2

）=log_a[1+sin²

x

2

（1-sin²

x

2

）]
=log_a[1+

1

4

sin²x]
=log_a（

9

8

-

1

8

cos2x）
∴函数f（x）是周期函数，最小正周期是π
（3）函数f（x）的单调增区间为[（k-

1

2

）π，kπ]，k∈Z；
函数f（x）的单调递减区间为[kπ，(k+

1

2

)π]，k∈Z
∴函数f（x）的最大值为0；   函数f（x）的最小值为loga

5

4

（4）由数形结合得，

当b＞0或b＜log

1

2

5

4

时，方程无解；             
当b=0时方程有一个解；                                         
当b=log

1

2

5

4

或b∈(log

1

2

9

8

，0)时方程有2个解；                
当b∈(log

1

2

5

4

，log

1

2

9

8

]时方程有3个解．

点评：本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的单调区间和函数与方程，同时考查了数形结合法，属于中档题．