Question

已知函数f(x)=ln²(1+x)-.

(I)求函数f(x) 的单调区间;

（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.

求的最大值.

Answer 1

解  （Ⅰ）函数f(x)的定义域是，

设则

令则

当时， ，h(x)在（-1，0）上为增函数，

当x＞0时，，h(x)在上为减函数.

所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以（x，函数g(x)在上为减函数.

于是当时，

当x＞0时，

所以，当时，在（-1，0）上为增函数.

当x＞0时，在上为减函数.

故函数f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.

（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，

.

设则

由（Ⅰ）知，即

所以,于是G(x)在上为减函数.

故函数G（x）在上的最小值为

所以的最大值为