Question

（2013•哈尔滨一模）函数f（x）=xsinx+cosx+x²，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为（　　）

• A．（0，e）
• B．（1，e）
• C．(

  1

  e

  ，e)
• D．(

  1

  e

  ，e)∪(1，e)

Answer 1

分析：首先判断函数为偶函数，利用导数求得函数在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，所给的不等式等价于-1＜lnx＜1，解对数不等式求得x的范围，即为所求．

解答：解：∵函数f（x）=xsinx+cosx+x²，满足f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+（-x）²=xsinx+cosx+x²=f（x），
故函数f（x）为偶函数．
由于f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
当x＞0时，f′（x）＞0，故函数在（0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，故函数在（-∞，0）上是减函数．
不等式f（lnx）＜f（1）等价于-1＜lnx＜1，∴

1

e

＜x＜e，
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，利用导数研究函数的单调性，对数不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．