Question

（2012•长宁区二模）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S_n为前n个圆的面积之和，则

lim

n→∞

s_n=

4πr²

．

Answer 1

分析：先确定内切圆半径组成以r为首项，

3

2

为公比的等比数列，从而圆的面积组成以πr²为首项，

3

4

为公比的等比数列，进而可求极限的值．

解答：解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即内切圆半径组成以r为首项，

3

2

为公比的等比数列
∴圆的面积组成以πr²为首项，

3

4

为公比的等比数列
∴

lim

n→∞

S_n=

πr2

1- 3 4

=4πr²
故答案为：4πr²．

点评：本题考查数列的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错．解题的关键是熟练掌握正六边形的性质