Question

已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若xy≥m-2恒成立，则实数m的最大值是________．

Answer 1

10
分析：分离出m；将不等式恒成立转化为求函数的最值；据x＞0，y＞0；将已知等式利用基本不等式；通过换元解不等式求出xy的最小值，注意验等号何时取得，求出m的范围．
解答：要使xy≥m-2恒成立即使m≤xy+2恒成立
∴只要m≤（xy+2）的最小值即可
∵x＞0，y＞0，xy=x+2y
∴xy=x+2y≥当且仅当x=2y时，取等号
令则

解得即xy≥8
所以xy+2的最小值为10
所以m≤10
故答案为：10
点评：本题考查解决不等式恒成立常通过分离参数转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需注意的条件是：一正、二定、三相等．