Question

设M是弧度为

π

2

的∠AOB的角平分线上的一点，且OM=1，过M任作一直线与∠AOB的两边分别交OA、OB于点E，F，记∠OEM=x．
（1）若

|ME|

|MF|

=1时，试问x的值为多少？
（2）求

1

|ME|

+

1

|MF|

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当

|ME|

|MF|

=1时，即M为EF的中点，又M是∠AOB的角平分线上的一点，利用几何性质即可求出x的值；
（2）在三角形OEM中，利用正弦定理列出关系式，表示出|EM|，同理表示出|FM|，代入所求式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质化简求出范围．

解答：解：（1）当

|ME|

|MF|

=1时，即M为EF的中点，又M是∠AOB的角平分线上的一点，
则由几何性质易知x=

π

4

；
（2）在三角形OEM中由正弦定理可知：

1

sinx

=

|EM|

sin π 4

，得|EM|=

2

2sinx

，x∈（0，

π

2

），
同理在三角形OFM中由正弦定理可知：|FM|=

2

2cosx

，x∈（0，

π

2

），
从而

1

|ME|

+

1

|MF|

=

2

sinx+

2

cosx=2sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

2

），∴x+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），即有sin（x+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
则

1

|ME|

+

1

|MF|

∈（

2

，2]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．