Question

三个半径为R的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为r的球外切．如果这两个半径为r的球也互相外切，则R与r的关系是（　　）

• A、R=r
• B、R=2r
• C、R=3r
• D、R=6r

Answer 1

分析：先设O₁，O₂，O₃分别是半径为R的三个球的球心，C₁，C₂分别是半径为r的两个球的球心，将它们构成立体图形（主体结构是三棱锥），再利用圆球与球相切时半径之间的关系建立方程式即可求得R与r的关系．

解答：解：设O₁，O₂，O₃分别是半径为R的三个球的球心，C₁，C₂分别是半径为r的两个球的球心，则它们构成立体图形（如图），H是△O₁O₂O₃的中心．因为△O₁O₂O₃是边长为2R的正三角形，O1H=

2 3

3

R．又△C₁O₁H是以∠C₁HO₁为直角的直角三角形，故C₁O₁²=C₁H²+O₁H²，即(R+r)2=r2+(

2 3

3

R)2，
解得R=6r．

点评：本题主要考查了球的性质、三棱锥的几何特征，同时考查了转化与化归的思想，以及空间想象力和计算能力，属于中档题．