题目内容
已知函数y=x+
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
上是减函数，在
，+∞）上是增函数．（1）如果函数y=x+
在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；（2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+
（1≤x≤2）的最大值和最小值．
【答案】分析：（1）根据函数y=x+
的性质可知
=4，从而可求出b的值；
（2）讨论
是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值．
解答：解：（1）由函数y=x+
的性质知：y=x+
在（0，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数，
∴
=4，∴2b=16=24，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴
∈1，2．
又∵f（x）=x+
在（0，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数，
∴
∈[1，2]时，当x=
时，函数取得最小值2 
．
又f（1）=1+c，f（2）=2+
，
f（2）-f（1）=1-
．
当c∈（1，2）时，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=2+
．
当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3．
当c∈（2，4时，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此时f（x）的最大值为f（1）=1+c．
综上所述，函数f（x）的最小值为2
；
当c∈（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+
；
当c=2时，函数f（x）的最大值为3；
当c∈（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c．
点评：本题主要考查了新定义，以及函数的最大值和最小值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
的性质可知=4，从而可求出b的值；（2）讨论
是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值．解答：解：（1）由函数y=x+
的性质知：y=x+在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴
=4，∴2b=16=24，∴b=4．（2）∵c∈（1，4），∴
∈1，2．又∵f（x）=x+
在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴
∈[1，2]时，当x=时，函数取得最小值2 ．又f（1）=1+c，f（2）=2+
，f（2）-f（1）=1-
．当c∈（1，2）时，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=2+
．当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3．
当c∈（2，4时，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此时f（x）的最大值为f（1）=1+c．
综上所述，函数f（x）的最小值为2
；当c∈（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+
；当c=2时，函数f（x）的最大值为3；
当c∈（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c．
点评：本题主要考查了新定义，以及函数的最大值和最小值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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