题目内容
在平面直角坐标系xoy中，已知点A（5，-5），P（cosα，sinα），其中0≤α≤π
（1）若cosα=
，求证：
⊥
．
（2）若
∥
，求sinα+3cosα的值．
（1）若cosα=
| 4 |
| 5 |
| PA |
| PO |
（2）若
| PA |
| PO |
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα=
，利用两个向量的数量积公式求得
•
，可得
⊥
．
（2）利用两个向量共线的性质可得-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化简可得 sinα=-cosα=
，从而得到sinα+3cosα的值．
| 3 |
| 5 |
| PA |
| PO |
| PA |
| PO |
（2）利用两个向量共线的性质可得-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化简可得 sinα=-cosα=
| ||
| 2 |
解答：解：（1）若cosα=
，∵已知点A（5，-5），P（cosα，sinα），0≤α≤π，
∴sinα=
，
=（5-cosα，-5-sinα），
=（-cosα，-sinα），
∴
•
=（5-cosα，-5-sinα）•（-cosα，-sinα）=-5cosα+cos2α+5sinα+sin2α
=1+5sinα-5×cosα=1+5×
-5×
=0，
故有
⊥
．
（2）若
∥
，则-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化简可得-sinα=cosα．
再由0≤α≤π 可得，α=
，故sinα+3cosα=
-
=-
．
| 4 |
| 5 |
∴sinα=
| 3 |
| 5 |
| PA |
| PO |
∴
| PA |
| PO |
=1+5sinα-5×cosα=1+5×
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
故有
| PA |
| PO |
（2）若
| PA |
| PO |
再由0≤α≤π 可得，α=
| 3π |
| 4 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量垂直、共线的性质，两个向量坐标形式的运算，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
练习册系列答案
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