题目内容

（1+2x）ⁿ的展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，则n等于________．

8
分析：设（1+2x）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1，利用（1+2x）ⁿ的展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，得到n的关系式，解之即可．
解答：设（1+2x）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1，
则T_r+1= $\text{[math]}$ （2x）^r=2^r• $\text{[math]}$ •x^r，
令r=3得展开式中x³的系数为：8 $\text{[math]}$ ，
令r=2得展开式中x²的系数为4 $\text{[math]}$ ．
依题意，8 $\text{[math]}$ =4×4 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ ，解得n=8．
故答案为：8．
点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查展开式的通项公式，考查理解与运算能力，属于中档题．