Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x﹣1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）﹣m]e^x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²+bx，f（x﹣1）为偶函数，
∴f（x）的对称轴为x=﹣1，
∴
∵集合A={x|f（x）=x}为单元素集合
∴f（x）=x有两个相等的实数根
∴ax²+（b﹣1）x=0，
∴b=1
∴
∴
∴f（x）的解析式为f（x）=x²+x；
（Ⅱ）g（x）=（x²+x﹣m）e^x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，
则g'（x）≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立
即（x²+x+1﹣m）e^x≥0对x∈[﹣3，2]上恒成立
∴m≤（x²+x+1）_min（x∈[﹣3，2]）
∴m≤﹣1 若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[﹣3，2]上恒成立
即（ x²+x+1﹣m）e^x≤0对x∈[﹣3，2]上恒成立
∴m≥（ x²+x+1）_max（x∈[﹣3，2]）
∴m≥7
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）．