Question

已知函数f(x)=

sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

-

1-cosx

4sin2 x 2

（1）判断函数f（x）的奇偶性．
（2）当x∈(

π

6

，

π

2

)时，求函数f（x）的值域．
（3）若

a

=(sinα，1)，

b

=(cosα，1)并且

a

∥

b

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：先把f（x）利用同角三角函数间的基本关系、二倍角公式等进行化简，
（1）要判断函数的奇偶性，方法是在函数的定义域内求出f（-x）如果等于-f（x）即为奇函数；如果等于f（x）即为偶函数；
（2）由x的范围求出2x的范围，由正弦函数的图象得到sin2x范围即可得到f（x）的值域；
（3）由两个向量平行得到sinα-cosα=0，求出α的值，代入f（x）化简可得f（α）的值即可．

解答：解：f(x)=-

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-sin2x

-

2sin2 x 2

4sin2 x 2

=

1- 1 4 sin22x

2-sin2x

-

1

2

=

(1- 1 2 sin2x)(1+ 1 2 sin2x)

2(1- 1 2 sin2x)

-

1

2

=

1

4

sin2x．
（1）因为函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ，k∈Z}，f（-x）=-f（x）所以函数f（x）为奇函数；
（2）当x∈(

π

6

，

π

2

)时，2x∈（

π

3

，π），函数中sin2x的最大值为1，最小值为0且取不到，所以f（x）的最大值为

1

4

，最小值为0，所以f（x）的值域为(0，

1

4

]；
（3）由

a

∥

b

得sinα-cosα=0，
∴

2

（

2

2

sinα-

2

2

cosα）=

2

sin（α-

π

4

）=0，
所以α-

π

4

=kπ，解得α=kπ+

π

4

，
∴f（α）=

1

4

sin2α=

1

4

sin（2kπ+

π

2

）=

1

4

sin

π

2

=

1

4

．

点评：此题是一道综合题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及三角函数中的恒等变换进行化简求值，灵活运用平面向量积的坐标表示．要求学生灵活运用所学的知识解决数学问题．