Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且．a₂是a₁、a₄的等比中项，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n记数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代入等差数列的通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的公差，代入等差数列的前n项和公式化简，再求出

1

Sn

并且裂项，再代入前n项和为T_n化简，根据式子和n的取值范围进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由题意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n+n(n-1)=n2+n，
∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)，
=1-

1

n+1

，
∵n∈N^*，∴T_n＜1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和，数列与不等式结合等，属于中档题．