题目内容

已知数列{a_n}满足条件： $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）证明：由题意得a_n+1+1=2（a_n+1），…（3分）
又a₁+1=2≠0． …（4分）
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列． …（5分）
（Ⅱ）解：由（1）知 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，…（7分）
故 $\text{[math]}$
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2ⁿ2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹…（8分）
错位相减得-T_n=2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-（2n-1）2ⁿ⁺¹…（9分）
= $\text{[math]}$ =（3-2n）2ⁿ⁺¹-6…（11分）
从而得T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6…（12分）
分析：（Ⅰ）由题意得a_n+1+1=2（a_n+1）可证数列{a_n+1}是以等比数列．
（Ⅱ）由（1）可求即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结合数列的特点，故考虑利用错位相减求和
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a_n+1=pa_n+q构造等比数列求解数列的通项，错位相减求和的方法要求掌握，并且还要知道其方法适用的数列类型