题目内容
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足c=λacosB（λ∈R），
（1）若λ=2，A=30°，求B的值；
（2）若a=2，B=60°，且角C为钝角，求实数λ的取值范围．
（1）若λ=2，A=30°，求B的值；
（2）若a=2，B=60°，且角C为钝角，求实数λ的取值范围．
分析：（1）将λ=2代入已知等式，利用余弦定理表示出cosB，整理后得到a=b，利用等边对等角即可求出B的度数；
（2）法1：由C为钝角及B的度数，得到A的范围，利用正弦定理列出关系式，表示出b，由c=2λcos60°=λ，利用余弦定理列出关系式，根据λ大于0，即可求出λ的范围；
法2：根据题意得到c=2λcos60°=λ，利用正弦定理表示出c，根据C为钝角，得出A的范围，将C=120°-A代入即可求出λ的范围．
（2）法1：由C为钝角及B的度数，得到A的范围，利用正弦定理列出关系式，表示出b，由c=2λcos60°=λ，利用余弦定理列出关系式，根据λ大于0，即可求出λ的范围；
法2：根据题意得到c=2λcos60°=λ，利用正弦定理表示出c，根据C为钝角，得出A的范围，将C=120°-A代入即可求出λ的范围．
解答：解：（1）λ=2时，c=2acosB=2a•
，
整理得：a2=b2，即a=b，
则B=A=30°；
（2）法1：∵C＞90°，∴A=180°-B-C=120°-C＜30°，
由正弦定理得：bsinA=asinB，即b=
＞2
，
又c=2λcos60°=λ，
∴根据余弦定理得：b2=4+λ2-2λ＞12，
又λ＞0，∴λ＞4；
法2：c=2λcos60°=λ，由正弦定理得：csinA=asinC，即c=
，
∵C＞90°，∴A=180°-B-C＜30°，
将C=120°-A代人，得：c=λ=
=
=
+1＞4．
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
整理得：a2=b2，即a=b，
则B=A=30°；
（2）法1：∵C＞90°，∴A=180°-B-C=120°-C＜30°，
由正弦定理得：bsinA=asinB，即b=
| ||
| sinA |
| 3 |
又c=2λcos60°=λ，
∴根据余弦定理得：b2=4+λ2-2λ＞12，
又λ＞0，∴λ＞4；
法2：c=2λcos60°=λ，由正弦定理得：csinA=asinC，即c=
| 2sinC |
| sinA |
∵C＞90°，∴A=180°-B-C＜30°，
将C=120°-A代人，得：c=λ=
| 2sin(120°-A) |
| sinA |
| ||
| sinA |
| ||
| tanA |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦、正切函数的图象与性质，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|