Question

已知函数

a

=（2sinx，2cos²x-1），

b

=（

3

cosx，1），f（x）=

a

•b

（x∈R），

b

=（

3

cosx，1），f（x）=

a

•

b

 （x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用可化简f（x）为f（x）=2sin（2x+

π

6

），从而可求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）由（1）知f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

），x₀∈[

π

4

，

π

2

]⇒2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，从而可求cos（2x₀+

π

6

），利用两角差的余弦即可求得cos2x₀的值．

解答：解：（1）由f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，
得f（x）=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期为π；
∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）在区间[0，

π

6

]上为增函数，在区间[

π

6

，

π

2

]上为减函数，
又f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，
∴函数f（x）区间[0，

π

2

]上的最大值为2，最小值为1；
（2）由（1）知f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

），
又f（x₀）=

6

5

，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，从而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查向量的数量积的坐标运算，突出考查三角函数的单调性与最值及两角差的余弦，属于难题．