Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，且有侧面PDC⊥底面ABCD，侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为

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7

，∠ADC为锐角，M为侧棱PB的中点．
（I）求证：PA⊥CD；
（II）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过P作PE⊥CD于E连接AE，根据线面所成角的定义可知∠PBE为侧棱PB与底面ABCD所成的角，求出PE与BE，在△BCE中，求出∠BCE，从而得到△ADC是边长为2的等边三角形，则AE⊥CD，根据三垂线定理可知PA⊥CD；
（II）根据二面角平面角的定义可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，在三角形APE中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）过P作PE⊥CD于E连接AE
∵侧面PDC⊥底面ABCD，PE?侧面PDC
CA⊥BD，PM⊥EN
∴PE⊥底面ABCD
∴AE是PA在底面ABCD上的射影
连接BE，
则∠PBE为侧棱PB与底面ABCD所成的角
∵侧面PDC是边长为2的正三角形
∴PE=

3

∴BE=

7

在△BCE中，BC=2，CE=1，BE=

7

∴cos∠BCE=

BC2+CE2-BE2

2•BC•CE

=-

1

2

∴∠BCE=

2π

3

∴∠ADC=

π

3

故△ADC是边长为2的等边三角形∵E为DC的中点，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角
∵△ADC和△PDC都是边长为2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小为45°

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及平面与平面垂直的性质和二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．