Question

已知函数f（x）=ax-lnx-3．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，-2）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[e^-4，e]上的图象与直线y=t（0≤t≤1）恒有两个不同交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=1处的导数，可得函数f（x）在点（1，-2）处的切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，分a≤0和a＞0讨论，当a＞0时由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调性，从而求出函数在区间[e^-4，e]上的最小值点，由最小值小于0，且区间端点处的函数值大于等于0联立不等式组求解a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-lnx-3，f′(x)=1-

1

x

，
∴f'（1）=0，
∴函数f（x）在点（1，-2）处的切线方程为：y=-2；
（Ⅱ）由f（x）=ax-lnx-3，得f′(x)=a-

1

x

，
当a=0时，f′(x)=-

1

x

在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函数f（x）在[e^-4，e]上单调递减，不满足题意；
当a＜0时，f′(x)=a-

1

x

在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函数f（x）在[e^-4，e]上单调递减，不满足题意；
当a＞0时，由f′(x)=a-

1

x

＜0，得e-4＜x＜

1

a

，
∴当x∈[e-4，

1

a

)时，f'（x）＜0⇒f（x）递减，
由f′(x)=a-

1

x

＞0，得

1

a

＜x＜e，
∴当x∈(

1

a

，e]时，f'（x）＞0⇒f（x）递增．
∴函数f（x）在x∈[e^-4，e]上的图象与直线y=t（0≤t≤1）恒有两个不同交点，
则需

f(e-4)≥1 f( 1 a )＜0 f(e)≥1

⇒

5

e

＜a＜e2．
∴实数a的取值范围是(

5

e

，e2)．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．