Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+k满足?x∈R，f（x）≥f（0）且y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有实数解，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=ax²+bx+k满足f（x）≥f（0），可得a＞0且b=0，根据f（x）的图象在（1，f（1））处的切线垂直于x+2y+1=0，可得f′（1）=2，从而可求a，b的值；
（2）f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有实数解转化为x²+k=2x-|x²-1|，即k=2x-|x²-1|-x²有实数解，进一步可等价于求函数k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+k满足f（x）≥f（0），∴a＞0且b=0，
又f（x）的图象在（1，f（1））处的切线垂直于x+2y+1=0，
∴f′（1）=2，即2a+b=2，
∴a=1，∴f（x）=x²+k；
（2）f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有实数解转化为x²+k=2x-|x²-1|，
即k=2x-|x²-1|-x²有实数解．
当x²-1≥0，即x≥1或x≤-1时，|x²-1|=x²-1，
当x²-1＜0，0即-1＜x＜1时，|x²-1|=-x²+1，
∴原问题等价于求函数k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域．
x≥1或x≤-1时，2x-2x²+1=-2(x-

1

2

)2+

3

2

≤1；
-1＜x＜1时，-3＜2x-1＜1，
∴k≤1．
∴方程f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有实数解时，k的取值范围是k≤1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析转化问题的能力，将问题等价于求函数k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域是关键．