Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方．

Answer 1

分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0可证．

解答：解：（1）由f（x）=

1

2

x²+lnx有f′（x）=x+

1

x

（2分）
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0
∴f_max（x）=f（e）=

1

2

e²+1，
f_min（x）=f（1）=

1

2

（6分）
（2）设F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，
则F′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x 2)

x

当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=-

1

6

＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，得证（12分）

点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性．