题目内容

某产品生产成本C与产量q（q∈N^*））的函数关系式为C=100+4q，销售单价P与产量q的函数关系式为p=25- $数学公式$ q．
（1）产量q为何值时，利润最大？
（2）产量q为何值时，每件产品的平均利润最大？

解：（1）销售收入R=q×p=25q- $\text{[math]}$ ，
利润L=R-C=- $\text{[math]}$ +21q-100（0＜q＜200），
L=- $\text{[math]}$ ，
所以产量q=84时，利润L最大；
（2）每件产品的平均利润f（q）= $\text{[math]}$ =21- $\text{[math]}$ ，
f′（q）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
解f′（q）=0得q=20 $\text{[math]}$ ，
0＜q＜20 $\text{[math]}$ 时，f′（q）＞0，f（q）单调递增；
20 $\text{[math]}$ ＜q＜200时，f′（q）＜0，f（q）单调递减，
因为28＜20 $\text{[math]}$ ＜29，且f（28）＞f（29），
所以产量q=28时，每件产品的平均利润L最大．
答：产量q=28时，每件产品的平均利润最大．
分析：（1）表示出销售收入R、利润L，根据二次函数的性质即可求得答案；
（2）每件产品的平均利润f（q）= $\text{[math]}$ ，利用导数即可求得最大值及产量q值，注意q为正整数．
点评：本题考查应用导数求实际背景下函数的最值问题、二次函数的性质，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力．