题目内容

已知函数f（x）=sin（x+ $数学公式$ ）+cos（x- $数学公式$ ），x∈R
（1）求函数图象的对称中心
（2）已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求证：[f（β）]²-2=0．
（3）求 $数学公式$ 的值．

解析：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ sinx- $\text{[math]}$ cosx- $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx
= $\text{[math]}$ （sinx-cosx）
=2sin（x- $\text{[math]}$ ），
∴x- $\text{[math]}$ =kπ，即x=kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴（kπ+ $\text{[math]}$ ，0）（k∈Z）为对称中心；
（2）∵0＜α＜β≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＞β-α＞0，π＞β+α＞0，
∵cos（β-α）= $\text{[math]}$ ，
∴sin（β-α）= $\text{[math]}$ ．
∵cos（α+β）=- $\text{[math]}$ ，
∴sin（α+β）= $\text{[math]}$ ．
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）•（- $\text{[math]}$ ）=0，
[f（β）]²-2=4 $\text{[math]}$ -2=2[1-cos（2β- $\text{[math]}$ ）]=-2sin2β=0，
所以，结论成立．
（3）∵f（x）=2sin（x- $\text{[math]}$ ），
∴f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（π）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）=0，
∴原式=251[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（π）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）
=0+ $\text{[math]}$ +2
=2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式将f（x）转化为f（x）=2sin（x- $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的性质即可求得函数图象的对称中心；
（2）利用利用两角和与差的正弦与余弦可求得sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]，再利用二倍角的余弦即可可证得结论；
（3）由f（x）=2sin（x- $\text{[math]}$ ），可求得f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（π）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）=0，利用函数的周期性即可求得答案．
点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查二倍角公式的应用，考查函数的周期性与函数的求值，综合题强，难度大，属于难题．