题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求证数列{a_n+2}为等比数列；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列 $数学公式$ 的前n项和，求证： $数学公式$ ．

解：（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2．
再由S_n=2a_n-2n（n∈N₊），可得 s_n+1=2a_n+1-2（n+1），
∴s_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n-2，即 a_n+1=2a_n+2，故有 a_n+1+2=2（a_n+2 ），
故数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n+2=4×2^n-1，∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂（4×2^n-1 ）=n+1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴数列 $\text{[math]}$ 的前n项和T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①，
∴ $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ②，
①-②可得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
故T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，显然满足 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2，再由s_n+1=2a_n+1-2（n+1），相减后化简可得 a_n+1+2=2（a_n+2 ），可得数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n+2=4×2^n-1，由此求得b_n=n+1，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再用错位相减法求出数列 $\text{[math]}$ 的前n项和T_n的值，从而得出结论．
点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．