Question

1．若x，y∈R⁺，且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最小值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 通过变形可知x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{{x}^{2}（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵x、y∈R⁺，
∴x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{{x}^{2}（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）}$
≤$\frac{\sqrt{2}[{x}^{2}+（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）]}{2}$（当且仅当x²=$\frac{1}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$时取等号）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[$\frac{1}{2}$+（${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$）]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{1}{2}$+1）
=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．