Question

（本小题满分12分）

已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．

（1）证明：//平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求二面角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 结交于点，连结，那么根据中位线性质可知// ，那么结合线面平行的判定定理来得到。

(2)建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的平面的法向量，借助于法向量的垂直来证明面面垂直。

(3)

【解析】

试题分析：解：（1）

证明：连结交于点，连结                 ……………………1分

为中点，为中点，

//                                           ……………………2分

平面，平面，        ………3分

∴ //平面．                       

（2）证明：

⊥平面        

平面，

．                          …………4分

又在正方形中且， …5分

∴平面．                                 ……………………6分

又平面，

∴平面平面．                            ……………………7分

（3）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空

间直角坐标系．

由可知的坐标分别为

（0, 0, 0）, （2, 0, 0）,（2, 2, 0）,

（0, 2, 0）, （0, 0, 2）, （0, 1, 1） ．………9分

平面，∴是平面的法向量，=（0, 0, 2）．

设平面的法向量为

, ,

则 即                       

∴ 

∴ 令,则．                            ………………11分

∴,           

二面角的正弦值为                      …………………12分

考点：考查了线面的关系，面面垂直二面角的知识。

点评：解决证明试题，一般要运用线面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，来分析得到，而对于求解二面角一般可以运用定义法，或者是三垂线定理法，以及向量法来表示得到，属于中档题。