题目内容
1．
如图，AB为⊙O的直径，过B作⊙O的切线，C为切线上的一点，连结OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．若AB=BC=2，则CD的长为3-$\sqrt{5}$．
分析 证明△CED∽△CBE，利用弦切角的知识证明CE2=CD•CB，在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，利用CE2=CD•CB，代入CE即可得出CD的长．
解答 解：连接BE．
∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°
，
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠AEO，
∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CBE，
∴CE2=CD•CB，
∵OB=1，BC=2，∴OC=$\sqrt{5}$，∴CE=OC-OE=$\sqrt{5}$-1，
（$\sqrt{5}$-1）2=2CD，∴CD=3-$\sqrt{5}$．
故答案为：3-$\sqrt{5}$．
点评 本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
练习册系列答案
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