题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N且n≥2时， $数学公式$ ．

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是 $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列．（5分）
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以 $\text{[math]}$ ，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（6分）
（2）因为 $\text{[math]}$ ，则当n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（9分）

下面证 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
， $\text{[math]}$ ，， $\text{[math]}$
以上n个式相加，即有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）． $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列．由此可知a_n=（n+1）•2ⁿ．
（2）由题意知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．然后再证明证 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．