Question

已知函数f(x)=

2-x-a  (x≤0) f(x-1)  (x＞0)

，若方程f（x）=x有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

a＜2

．

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式，我们易分析出函数的图象在Y轴右侧呈周期性变化，结合函数在x≤0时的解析式，
我们可以画出函数的像，再利用图象平移，根据图象易分析出满足条件的a的取值范围

解答：解：我们先研究g(x)=

2-x-1  (x≤0) g(x-1)  (x＞0)

①当x≤0时，f（x）=2^-x-1，
②当0＜x≤1时，-1＜x-1≤0，g（x）=g（x-1）=2^-（x-1）-1．
当1＜x≤2时，，-2＜x-2≤0，g（x）=g（x-2）=2^-（x-2）-1．
故x＞0时，f（x）是周期函数，如图，
函数f（x）的图象与直线y=x恰有一个交点
即方程f（x）=x恰有一个实数根，
因为f(x)=

2-x-a  (x≤0) f(x-1)  (x＞0)

 的图象是由g(x)=

2-x-1  (x≤0) g(x-1)  (x＞0)

向下平移a-1个单位． 
若方程f（x）=x有且只有两个不相等的实数根，则a-1＜1，即a＜2                               

故答案为：a＜2．

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化及图象平移，其中根据函数的解析式，分析函数的性质，并画出函数的图象是解答本题的关键．