题目内容
已知函数f（x）=-x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为| 1 | 12 |
-1
-1
．分析：由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为
，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．
| 1 |
| 12 |
解答：解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，
∴f（x）=-x2（x-a），有∫a0（x3-ax2）dx=（
x4-
ax3）|a0=0-
+
=
=
，
∴a=±1．
函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=-1．
故答案为：-1．
∴f（x）=-x2（x-a），有∫a0（x3-ax2）dx=（
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| a4 |
| 4 |
| a4 |
| 3 |
| a4 |
| 12 |
| 1 |
| 12 |
∴a=±1．
函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=-1．
故答案为：-1．
点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|